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Nb posts : 1 Inscrit le : 02/10/2010
Bonjour,
Pouvez vous m'aidez a résoudre cet exercice et me montrer les démonstrations que je dois faire pour résoudre l'exercice.
a)Déterminer le polynôme P, de degré 2 au plus vérifiant:
P(0)=3 P(-2)=5 P(1)=2
b)Déterminer le polynôme P, de degré 2 au plus, qui prend les mêmes valeurs que le fonction f:x=racine de 1+x aux points -1, 0 et
merci d'avance
Nb posts : 11 Inscrit le : 20/04/2009
Salut,
J'arrive un peu tard, mais c'est pas grave ça pourra toujours servir à d'autres :D
Pour la première question, on te dit qu'on cherche un polynôme de degré 2 au plus, soit
P(X) = aX² + bX + c où (a,b,c) sont nos inconnues.
Or tu sais que P(0) = 3. Soit dit autrement : a*0 + b*0 + c = 3. D'où c=3
Tu sais également que P(1) = 2. Soit dit autrement a + b + 3 = 2. Soit a + b = -1 (1)
Tu sais aussi que P(-2) = 5. Soit 4a - 2b + 3 = 5. Soit 2a - b = 1 (2)
En utilisant alors (1) et (2), tu trouves que :
(1) => a = -(b+1) (1')
(1') dans (2) => -2b - 2 - b = 1 <=> -3b = 3 <=> b=-3
D'où finalement : a = -(-2) = 2.
Soit a=2 ; b=-3 et c=3
Tu vérifies bien que pour P(X) = 2X² - 3X + 3
P(0) = 3
P(1) = 2
P(-2) = 4*2-6+3 = 5
CQFD.
Pour le b) c'est exactement la même chose (j'imagine que la fin de sa phrase était "aux points -1, 0 et 1".
Tu poses P(X) = aX² + bX + c
et tu cherches P(0) = c = racine(1) = 1 ou -1
P(1) = a + b + c = racine(2)
P(-1) = a - b + c = racine(0) = 0
Il n'y a alors plus qu'à résoudre ce système à trois inconnues, trois équations (juste penser au fait que, généralement, si x est solution de x=racine(y), -x est également solution ....)
Edit : je me rends compte que le titre contenait le terme "polynômes de Lagrange" ... or là je ne m'en sers pas car inutile ... Est-ce que ma réponse suffit quand même ?
Dernière mise à jour le 26/10/2010 à 09:58 par bleys
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